Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{3}} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt{x}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.2

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

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Schritt 4.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Schritt 8.3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ und $4 + 6 \cdot 0$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{1}{2} \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{4 + 6 \cdot 0}$

Schritt 10.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 6 \cdot 0}$

Schritt 10.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 2 (3 \cdot 0)}$

Schritt 10.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (3 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Schritt 10.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

Schritt 10.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ und $2 + 3 \cdot 0$ .

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Schritt 10.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $2$ aus $\frac{1}{2} \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $0 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 3)}$

Schritt 10.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (0 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 10.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

Schritt 10.2.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 3}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Schritt 10.4.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 10.5

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$