Analysis Beispiele

$f (x) = 4 + 3 x - x^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 + 3 (x + h) - {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - ((x + h) (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.3

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - (x (x + h) + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Schritt 2.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 4 + 3 x + 3 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 + 3 x + 3 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$4 + 3 x + 3 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $4$ .

$3 x + 3 h - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 4$

Schritt 2.2.2

Bewege $3 x$ .

$3 h - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 4$

Schritt 2.2.3

Bewege $3 h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 h + 3 x + 4$

Schritt 2.2.4

Bewege $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 3 h + 3 x + 4$

Schritt 2.2.5

Stelle $- 2 h x$ und $- h^{2}$ um.

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4$

$f (x) = 4 + 3 x - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4$

$f (x) = 4 + 3 x - x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4 - (4 + 3 x - x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4 - 1 \cdot 4 - (3 x) - - x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4 - 4 - (3 x) - - x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4 - 4 - 3 x - - x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4 - 4 - 3 x + 1 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 4 - 4 - 3 x + x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 3 h + 3 x + 4 - 4 - 3 x + 0}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- h^{2} - 2 h x + 3 h + 3 x + 4 - 4 - 3 x$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 3 h + 3 x + 4 - 4 - 3 x}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 3 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 3 h + 4 - 4}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $- h^{2} - 2 h x + 3 h$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} - 2 h x + 3 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$\frac{h (- h) - 2 h x + 3 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x$ heraus.

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + 3 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $3 h$ heraus.

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (- h) + h (- 2 x)$ heraus.

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- h - 2 x) + h \cdot 3$ heraus.

$\frac{h (- h - 2 x + 3)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- h - 2 x + 3)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- h - 2 x + 3$ durch $1$ .

$- h - 2 x + 3$

Schritt 4.2.2

Stelle $- h$ und $- 2 x$ um.

$- 2 x - h + 3$

Schritt 5