Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h))$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Schritt 2.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle $8 h x$ und $4 h^{2}$ um.

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (4 x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1.1.1

Schreibe $4 h^{2}$ als ${(2 h)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Schritt 4.1.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 h$ und $b = 2 x$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - {(2 x)}^{2}}{h}$

Schritt 4.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 h + 2 x$ und $b = 2 x$ .

$\frac{(2 h + 2 x + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 h + 4 x$ heraus.

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 h$ heraus.

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Schritt 4.1.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{(2 h + 2 (2 x)) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Schritt 4.1.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 h + 2 (2 x)$ heraus.

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - 2 x)}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 h + 2 x - 2 x$ .

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Schritt 4.1.5.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 0)}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $2 h$ und $0$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h)}{h}$

$\frac{2 (h + 2 x) \cdot 2 h}{h}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $4 (h + 2 x)$ durch $1$ .

$4 (h + 2 x)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 h + 4 (2 x)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 h + 8 x$

Schritt 4.2.3.2

Stelle $4 h$ und $8 x$ um.

$8 x + 4 h$

Schritt 5