Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 5$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 8 x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 8 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $20$ von $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$u = 4 \pm \sqrt{11}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 4 + \sqrt{11}, 4 - \sqrt{11}$

Schritt 2.6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 7.31662479$

${(x^{2})}^{1} = 0.6833752$

Schritt 2.7

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 7.31662479$

Schritt 2.8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7.31662479}$

Schritt 2.8.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.8.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7.31662479}$

Schritt 2.8.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7.31662479}$

Schritt 2.8.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}$

Schritt 2.9

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 0.6833752$

Schritt 2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 0.6833752$

Schritt 2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.6833752}$

Schritt 2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.6833752}$

Schritt 2.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.6833752}$

Schritt 2.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

Schritt 2.11

Die Lösung von $x^{4} - 8 x^{2} + 5 = 0$ ist $x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$ .

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{7.31662479}, - \sqrt{7.31662479}, \sqrt{0.6833752}, - \sqrt{0.6833752}$

Dezimalform:

$x = 2.70492602 \dots, - 2.70492602 \dots, 0.82666511 \dots, - 0.82666511 \dots$

Schritt 4