Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$ .

$\frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{{(x + h)}^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}}{h}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $\frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + h$ und $b = x$ .

$\frac{\frac{(x + h + x) (x + h - x)}{2}}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x + h - x)}{2}}{h}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (h + 0)}{2}}{h}$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) h}{2}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(2 x + h) h}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere $h$ aus $(2 x + h) h$ heraus.

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (2 x + h)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + h}{2}$

Schritt 5