Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{x + h}$ .

$- \frac{1}{x + h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h}$

$f (x) = - \frac{1}{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h} - (- \frac{1}{x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- - \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + 1 \frac{1}{x}}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{h}$

Schritt 4.1.3

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{- \frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$\frac{- \frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- x + x + h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\frac{- x + x + h}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{\frac{0 + h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.2

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{\frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x + h)}$

Schritt 5