Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2}{(x + h) - 3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{x + h - 3}$ .

$\frac{2}{x + h - 3}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

$f (x + h) = \frac{2}{x + h - 3}$

$f (x) = \frac{2}{x - 3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{x + h - 3} - (\frac{2}{x - 3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{2}{x + h - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{2}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{2}{x + h - 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 3) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x + h - 3}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + h - 3}{x + h - 3}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 3}$ mit $\frac{x + h - 3}{x + h - 3}$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x - 3) (x + h - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + h - 3)$ um.

$\frac{\frac{2 (x - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)} - \frac{2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x - 3) - 2 (x + h - 3)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x + h - 3)$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x - 3) + 2 (- (x + h - 3))$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x - 3 - (x + h - 3))}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h - - 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{2 (x - 3 - x - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 - 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{\frac{2 (- 3 - h + 3)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.5.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 h}{(x + h - 3) (x - 3)}$ in den Zähler.

$\frac{- 2 h}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{(x + h - 3) (x - 3)}$

Schritt 5