Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 5$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 5 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 5 d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 5 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int 5 d x$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int 5 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 5 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 5 x + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 5 x + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{6} - x^{2} + 5 x + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{6} x^{3} - x^{2} + 5 x + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 5$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6} x^{3} - x^{2} + 5 x + C$