Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 5 x) d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 6 + 5 x$ und $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 + 5 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 5 d x$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $5$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3} d x$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 5

Da $\frac{10}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{10}{3}$ aus dem Integral.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{10}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ als $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ um.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{10}{3}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 10}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.2.5

Faktorisiere $5$ aus $20 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Schritt 7.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

Schritt 7.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 7.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Schritt 7.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Schritt 7.2.8

Subtrahiere $4 x^{\frac{5}{2}}$ von $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Schritt 7.2.9

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

Schritt 7.2.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

Schritt 7.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 7.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Schritt 7.2.10.4

Dividiere $2 x^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$