Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

Schritt 8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

Schritt 10.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{6}}{6}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

Schritt 10.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 10.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{6}$ heraus.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

Schritt 10.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

Schritt 10.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 10.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$