Analysis Beispiele

$\cos (π x)$

Schritt 1

Schreibe $\cos (π x)$ als Funktion.

$f (x) = \cos (π x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos (π x) d x$

Schritt 4

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 4.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} \int \cos (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{π} (\sin (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{π} \sin (u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$\frac{1}{π} \sin (π x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos (π x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{π} \sin (π x) + C$