Analysis Beispiele

$\frac{1}{8 \sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{8 \sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{8 \sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{8} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $2$ .

$\frac{2}{8} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{8} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{8 \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C$