Analysis Beispiele

$\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt[4]{x^{3}} d x + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int \sqrt[3]{x^{4}} d x$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{4}}$ als $x^{\frac{4}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$