Analysis Beispiele

$\frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

Schritt 4

Bringe $x^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

Schritt 6

Multipliziere $(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 6.4

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Schritt 6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

Schritt 6.6

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

Schritt 6.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

Schritt 6.9

Stelle $5 x^{- 6}$ und $- 4 x^{- 3}$ um.

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Schritt 8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Schritt 10.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Schritt 11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $x^{- 5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

Schritt 13.2

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$