Analysis Beispiele

$f' (x) = 9 x^{2} - 8 x$

Schritt 1

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 9 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x d x$

Schritt 5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 \int x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$9 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 7.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 7.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C$

Schritt 7.2.4.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$3 x^{3} - 4 x^{2} + C$

Schritt 8

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = 3 x^{3} - 4 x^{2} + C$