Analysis Beispiele

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = 5 \cos (t)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $5 \cos (t) = x$ um.

$5 \cos (t) = x$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (t) = x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (t) = x$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (t)$ durch $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

Schritt 5

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Schritt 6

Entferne die Klammern.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

Schritt 7

Vereinfache $5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ .

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Schritt 7.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 7.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (\frac{x}{5})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Schritt 7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Schritt 7.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Schritt 7.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Schritt 7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $\frac{5 + x}{5}$ mit $\frac{5 - x}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Schritt 7.4

Schreibe $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ um.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(5 + x) (5 - x)$ heraus.

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 7.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Schritt 7.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

Schritt 7.6

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

Schritt 7.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$