Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima cos(2x)
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 3.3
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 7
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 8
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 8.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 8.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 8.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 8.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 8.3.1
Dividiere durch .
Schritt 9
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 10
Löse nach auf.
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Schritt 10.1
Vereinfache.
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Schritt 10.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.1.2
Addiere und .
Schritt 10.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 10.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 10.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 11
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 13.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 15
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 15.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 15.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 17
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 17.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 17.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 17.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 17.4
Multipliziere .
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Schritt 17.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 19
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 19.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 19.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 19.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 20
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 21