Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 16$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 16) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.2.2

Addiere $- 32 x$ und $0$ .

$\frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.6.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Schritt 1.6.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$- \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Schritt 1.6.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x - 4)$ an.

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere ${(x + 4)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 4)}^{2}$ und $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere.

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Schritt 2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.5.3

Kombiniere $- 32$ und $\frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(32) ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Wende die Produktregel auf ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ an.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) - x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.4.1

Faktorisiere $32 (x + 4) (x - 4)$ aus $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ heraus.

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Schritt 2.9.4.1.1

Faktorisiere $32 (x + 4) (x - 4)$ aus $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.2

Faktorisiere $32 (x + 4) (x - 4)$ aus $32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.3

Faktorisiere $32 (x + 4) (x - 4)$ aus $32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.4

Faktorisiere $32 (x + 4) (x - 4)$ aus $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.5

Faktorisiere $32 (x + 4) (x - 4)$ aus $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4)) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.9.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.4.3.1

Multipliziere $(x + 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x (x - 4) + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.4.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 4$ und $4 x$ neu an.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.4.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.4.3.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.3.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x$ .

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Schritt 2.9.4.4.1

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.4.2

Addiere $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- x^{2} - 16 - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.9.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.9.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.9.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.9.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 4$ und ${(x + 4)}^{4}$ .

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Schritt 2.9.5.3.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.5.3.2.1

Faktorisiere $x + 4$ aus ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 2.9.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 2.9.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 4$ und ${(x - 4)}^{4}$ .

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Schritt 2.9.5.4.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $32 (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.5.4.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 2.9.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 2.9.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.9.7

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (16)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.9.9

Schreibe $- (3 x^{2} + 16)$ als $- 1 (3 x^{2} + 16)$ um.

$f'' (x) = - \frac{32 (- 1 (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.9.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 2.9.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}})$

Schritt 2.9.12

Mutltipliziere $\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 4.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.3.2.2

Addiere $- 32 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.6.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.6.5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.6.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Schritt 4.1.6.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 4) (x - 4)$ an.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$32 x = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $32 x = 0$ durch $32$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $32 x = 0$ durch $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{32}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $32$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Setze ${(x + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.2.1

Setze ${(x + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.2

Löse ${(x + 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.2.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6.2.3

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.3.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.3.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.3.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.2.3.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 4, x = 4$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{32 (3 {(0)}^{2} + 16)}{{((0) + 4)}^{3} {((0) - 4)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{32 (3 \cdot 0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{32 (0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $0$ und $16$ .

$\frac{32 \cdot 16}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 (0) + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot (0 - 4))}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.4

Wende die Produktregel auf $- 1 \cdot (0 - 4)$ an.

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.6

Multipliziere ${(0 - 4)}^{3}$ mit ${(0 - 4)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.6.1

Bewege ${(0 - 4)}^{3}$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot ({(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3})}$

Schritt 9.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3 + 3}}$

Schritt 9.2.6.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $32$ mit $16$ .

$\frac{512}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{512}{- 1 {(- 4)}^{6}}$

Schritt 9.4.2

Potenziere $- 4$ mit $6$ .

$\frac{512}{- 1 \cdot 4096}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4096$ .

$\frac{512}{- 4096}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $512$ und $- 4096$ .

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Schritt 9.5.2.1

Faktorisiere $512$ aus $512$ heraus.

$\frac{512 (1)}{- 4096}$

Schritt 9.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.2.2.1

Faktorisiere $512$ aus $- 4096$ heraus.

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

Schritt 9.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

Schritt 9.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 9.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 16}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 16}$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 16}$

Schritt 11.2.3

Dividiere $0$ durch $- 16$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13