Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.2.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.5.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3
Berechne .
Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Berechne .
Schritt 1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 1.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.5.2
Addiere und .
Schritt 2
Schritt 2.1
Differenziere.
Schritt 2.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2
Berechne .
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.2
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.1.2.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.5.2
Dividiere durch .
Schritt 4.1.3
Berechne .
Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Berechne .
Schritt 4.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 4.1.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.5.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Faktorisiere unter der Verwendung der AC-Methode.
Schritt 5.2.1
Betrachte die Form . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt und deren Summe ist. In diesem Fall, deren Produkt und deren Summe ist.
Schritt 5.2.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
Schritt 5.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 5.4.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.5
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 5.5.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Schritt 9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Subtrahiere von .
Schritt 10
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 11
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 11.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 11.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.1.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Schritt 11.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Schritt 13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Subtrahiere von .
Schritt 14
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 15
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 15.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 15.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.2.1
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 15.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.4
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 15.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.7
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 15.2.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 15.2.4
Vereinfache jeden Term.
Schritt 15.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.5
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 15.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.5.2
Addiere und .
Schritt 15.2.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.5.4
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 15.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
Schritt 17