Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.3.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

Schritt 2.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4.1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, x^{2}, 1$

Schritt 5.2.2

Da $x, x^{2}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}, x^{2}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 5.2.6

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 5.2.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 5.2.8

Das kgV von $x^{1}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 = 0 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 9.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 + \frac{2}{1}$

Schritt 9.1.5

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 1 + 2$

Schritt 9.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$1$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} + \ln (1)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = 1 + \ln (1)$

Schritt 11.2.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Schritt 11.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (1) = 1$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$ .

$(1, 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13