Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $1 + x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.4

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + 0) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.7

Addiere $- 12 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) (4 \cdot ((x^{4} + 1) x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 8 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 12 {(x^{4} + 1)}^{2} x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{4} + 1)}^{2}$ als $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 12 ((x^{4} + 1) (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} (x^{4} + 1) + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.2

Addiere $x^{4}$ und $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + 2 x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 12 (2 x^{4}) - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{8} x^{3} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{3} x^{8}) - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{3 + 8} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.3

Addiere $3$ und $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 (x^{3} x^{4}) - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{3 + 4} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.10.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.10.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4 + 3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11

Multipliziere $(24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} (x^{7} + x^{3}) - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 (x^{7} x^{4}) + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{7 + 4} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $7$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.12.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{3 + 4} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{7} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.2

Subtrahiere $8 x^{7}$ von $24 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $- 12 x^{11}$ und $24 x^{11}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.3

Addiere $- 24 x^{7}$ und $16 x^{7}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 12 x^{3} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.4

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere $4 x^{3}$ aus $12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1.1

Faktorisiere $4 x^{3}$ aus $12 x^{11}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.2

Faktorisiere $4 x^{3}$ aus $- 8 x^{7}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.3

Faktorisiere $4 x^{3}$ aus $- 20 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.4

Faktorisiere $4 x^{3}$ aus $4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.5

Faktorisiere $4 x^{3}$ aus $4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 {(x^{4})}^{2} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.3

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 2.5.4.4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.1.2

Schreibe $- 2$ um als $3$ plus $- 5$

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + (3 - 5) u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + 3 u - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((3 u^{2} + 3 u) - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u (u + 1) - 5 (u + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((u + 1) (3 u - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4} + 1$ und ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus $4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.2.1

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus ${(x^{4} + 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $1 + x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 3 x^{4} + 1 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{4} = - 1$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{4} = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{4} = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 5.3.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 5.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Potenziere $\sqrt[4]{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 5.3.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Schritt 5.3.4.4.4

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Schritt 5.3.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 5.3.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 5.3.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 5.3.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 5.3.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.3.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ als $\sqrt[4]{3^{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Schritt 5.3.4.5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 5.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 5.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 5.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{4 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ als $27$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.7

Dividiere $27$ durch $27$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (1 - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.8

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.9.1

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ als $\sqrt[4]{27^{3}}$ um.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.9.2

Potenziere $27$ mit $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{19683}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.9.3

Schreibe $19683$ als $9^{4} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.9.3.1

Faktorisiere $6561$ aus $19683$ heraus.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.9.3.2

Schreibe $6561$ als $9^{4}$ um.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\frac{4 \cdot 9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.9.5

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.11.1

Faktorisiere $9$ aus $36 \sqrt[4]{3}$ heraus.

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.11.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 (3)} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 \cdot 3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ als $27$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $81$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $27$ aus $27$ heraus.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Schritt 9.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Schritt 9.2.7

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Schritt 9.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Schritt 9.2.9

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{3^{3}}}$

Schritt 9.2.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{27}}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ und $- 4$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{\frac{64}{27}}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Schritt 9.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 9.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $16$ aus $- 16 \sqrt[4]{3}$ heraus.

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Schritt 9.5.3

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Schritt 9.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Schritt 9.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Schritt 9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.6.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Schritt 9.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Schritt 9.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Schritt 9.7

Kombiniere $\frac{9}{4}$ und $\sqrt[4]{3}$ .

$- \frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Schritt 10

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Schritt 11.2.2.2

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ als $27$ um.

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Schritt 11.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Schritt 11.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Schritt 11.2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Schritt 11.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Schritt 11.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Schritt 11.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Schritt 11.2.2.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Schritt 11.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $81$ .

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Schritt 11.2.2.4.1

Faktorisiere $27$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Schritt 11.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.4.2.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Schritt 11.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Schritt 11.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Schritt 11.2.2.7

Addiere $3$ und $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 11.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 11.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 11.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \sqrt[4]{27} (\frac{1}{4})$

Schritt 11.2.6

Kombiniere $\sqrt[4]{27}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Schritt 11.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{4 {(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.4.1

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ als $\sqrt[4]{27^{3}}$ um.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.4.2

Potenziere $27$ mit $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{19683}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.4.3

Schreibe $19683$ als $9^{4} \cdot 3$ um.

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Schritt 13.1.4.3.1

Faktorisiere $6561$ aus $19683$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.4.3.2

Schreibe $6561$ als $9^{4}$ um.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $27$ .

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Schritt 13.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $9 \sqrt[4]{3}$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 (\sqrt[4]{3})}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.6.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.7.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 13.1.7.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.4

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ als $27$ um.

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Schritt 13.1.7.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.1.7.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1.7.6.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.7.7

Dividiere $27$ durch $27$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (1 - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.8

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 13.1.9.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (4 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.9.2

Kombiniere $4$ und $\frac{\sqrt[4]{3}}{3}$ .

$\frac{- (\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.9.3

Kombiniere $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ und $- 4$ .

$\frac{- \frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.9.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{- \frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 13.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.4

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ als $27$ um.

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Schritt 13.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $81$ .

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Schritt 13.2.6.1

Faktorisiere $27$ aus $27$ heraus.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.6.2.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

Schritt 13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

Schritt 13.2.9

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

Schritt 13.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

Schritt 13.2.11

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{3^{3}}}$

Schritt 13.2.12

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Schritt 13.3.2

Mutltipliziere $\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

Schritt 13.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 13.5.1

Faktorisiere $16$ aus $16 \sqrt[4]{3}$ heraus.

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

Schritt 13.5.2

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

Schritt 13.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

Schritt 13.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

Schritt 13.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.6.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

Schritt 13.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

Schritt 13.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

Schritt 13.7

Kombiniere $\sqrt[4]{3}$ und $\frac{9}{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{3} \cdot 9}{4}$

Schritt 13.8

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sqrt[4]{3}$ .

$\frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

Schritt 14

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 15.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

Schritt 15.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Schritt 15.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

Schritt 15.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

Schritt 15.2.2.4

Schreibe ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ als $27$ um.

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Schritt 15.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{27}$ als $27^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

Schritt 15.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

Schritt 15.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Schritt 15.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 15.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

Schritt 15.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Schritt 15.2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

Schritt 15.2.2.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

Schritt 15.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $81$ .

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Schritt 15.2.2.6.1

Faktorisiere $27$ aus $27$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

Schritt 15.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.2.6.2.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Schritt 15.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

Schritt 15.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Schritt 15.2.2.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 15.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Schritt 15.2.2.9

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 15.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 15.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 15.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 15.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \sqrt[4]{27} \frac{1}{4}$

Schritt 15.2.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt[4]{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Schritt 15.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ .

$y = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$ .

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ ist ein lokales Maximum

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17