Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Schritt 2.2.2

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Stelle $e^{x}$ und $- 1$ um.

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 2.4.2.2

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 2.4.2.3

Subtrahiere $e^{x} \sin (x)$ von $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 2.4.2.4

Addiere $- e^{x} \cos (x)$ und $\cos (x) e^{x}$ .

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Schritt 2.4.2.4.1

Stelle $\cos (x)$ und $e^{x}$ um.

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Schritt 2.4.2.4.2

Addiere $- e^{x} \cos (x)$ und $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

Schritt 2.4.2.5

Addiere $- 2 e^{x} \sin (x)$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \sin (x)$ heraus.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cos (x)$ heraus.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ heraus.

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 6

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 6.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 6.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 7

Setze $- \sin (x) + \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- \sin (x) + \cos (x)$ gleich $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.6

Separiere Brüche.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 7.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Schritt 7.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Schritt 7.2.10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 7.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.11.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.11.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 7.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 7.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.13.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.14

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.15

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 7.2.15.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.15.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.15.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 7.2.15.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 7.2.16

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ heraus.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

Schritt 11

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $e^{\frac{π}{4}}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ heraus.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 14.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 14.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

Schritt 14.4

Multipliziere.

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Schritt 14.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Schritt 14.4.2

Mutltipliziere $e^{\frac{5 π}{4}}$ mit $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Schritt 15

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Schritt 16.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 16.2.3

Kombiniere $e^{\frac{5 π}{4}}$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18