Analysis Beispiele

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b x + c$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.4

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 a x + b + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Addiere $2 a x + b$ und $0$ .

$2 a x + b$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$b + 2 a x$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $b + 2 a x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Schritt 2.1.2

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $2 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 a x$ nach $x$ gleich $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $2 a$ .

$f'' (x) = 2 a$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$b + 2 a x = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b x + c$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 4.1.4

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 a x + b + 0$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.1

Addiere $2 a x + b$ und $0$ .

$2 a x + b$

Schritt 4.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = b + 2 a x$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $b + 2 a x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 a x = - b$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 a x = - b$ durch $2 a$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a x = - b$ durch $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{b}{2 a}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 a$

Schritt 9

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 10