Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{c^{8} - x^{8}}{c^{8} + x^{8}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ gleich $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ ist mit $f (c) = c^{8} - x^{8}$ und $g (c) = c^{8} + x^{8}$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} - x^{8}] - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $c^{8} - x^{8}$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ gleich $n c^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- x^{8}$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $- x^{8}$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + 0) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $8 c^{7}$ und $0$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7}) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $c^{8} + x^{8}$ .

$\frac{8 \cdot (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $c^{8} + x^{8}$ nach $c$ $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}]$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ gleich $n c^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $x^{8}$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $x^{8}$ bezüglich $c$ gleich $0$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + 0)}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $8 c^{7}$ und $0$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7})}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(8 c^{8} + 8 x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} + (- 8 c^{8} - 8 (- x^{8})) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}$ .

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $8 c^{8} c^{7}$ von $8 c^{8} c^{7}$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 0 - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $8 x^{8} c^{7}$ und $0$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Addiere $8 x^{8} c^{7}$ und $8 x^{8} c^{7}$ .

$\frac{16 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$