Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{13}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{13}}}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6} \sqrt{x}}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{13}$ als ${(x^{6})}^{2} x$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{12}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{12} x}}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $x^{12}$ als ${(x^{6})}^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{{(x^{6})}^{2} x}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6} \sqrt{x}}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6} x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6 + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{12 + 1}{2}}}]$

Schritt 3.5.2

Addiere $12$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{2}}}]$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{13}{2}}}$ als ${(x^{\frac{13}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{13}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{13}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $\frac{13}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $\frac{13}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{13 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 13}{2}}]$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{13}{2}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{13}{2}$ .

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{13}{2} - 1}$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{13}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{13}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{13}{2} x^{\frac{- 13 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{13}{2} x^{\frac{- 13 - 2}{2}}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $- 13$ .

$- \frac{13}{2} x^{\frac{- 15}{2}}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{13}{2} x^{- \frac{15}{2}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{15}{2}}}$

Schritt 11.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{15}{2}}}$ mit $\frac{13}{2}$ .

$- \frac{13}{x^{\frac{15}{2}} \cdot 2}$

Schritt 11.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{15}{2}}$ .

$- \frac{13}{2 x^{\frac{15}{2}}}$