Analysis Beispiele

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

Schritt 1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere ${(x + 2)}^{3}$ mit $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4 {(x + 2)}^{2}$ aus $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4 {(x + 2)}^{2}$ aus $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ heraus.

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $4 {(x + 2)}^{2}$ aus $- 4 {(x + 2)}^{3}$ heraus.

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4 {(x + 2)}^{2}$ aus $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ heraus.

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.4

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.5

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.6.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.6.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

Schritt 5.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

Schritt 5.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

Schritt 5.10

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

Schritt 5.11

Multipliziere $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.12.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.12.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.12.6.1

Bewege $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.7

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

Schritt 5.12.10

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Schritt 5.13

Subtrahiere $64 x^{2}$ von $- 8 x^{2}$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Schritt 5.14

Subtrahiere $64 x$ von $- 32 x$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$