Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x} + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{e^{x} + 1}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$