Analysis Beispiele

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Schritt 3.6

Mutltipliziere ${(x - 4)}^{3}$ mit $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus $x (3 {(x - 4)}^{2})$ heraus.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus ${(x - 4)}^{3}$ heraus.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere ${(x - 4)}^{2}$ aus ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ heraus.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Schritt 4.2.2

Addiere $3 x$ und $x$ .

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Schritt 4.3

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Schritt 4.4

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Schritt 4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Schritt 4.5.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Schritt 4.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Schritt 4.6

Multipliziere $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.2.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.5.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.8

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Schritt 4.7.9

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Schritt 4.8

Subtrahiere $32 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Schritt 4.9

Addiere $32 x$ und $64 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$