Analysis Beispiele

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 2 x \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 2 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Schritt 2.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

Schritt 2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{2}{x}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 2 x \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 4.1.3.2

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Schritt 4.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Schritt 4.1.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \ln (x) = - 5$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (x) = - 5$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (x) = - 5$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

Schritt 5.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\ln (x) = \frac{5}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

Schritt 5.6

Schreibe die Gleichung als $x = e^{\frac{5}{2}}$ um.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = e^{\frac{5}{2}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{5}{2}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

Schritt 10.2.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

Schritt 10.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Schritt 10.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Schritt 10.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

Schritt 10.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $5 e^{\frac{5}{2}}$ von $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Schritt 11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12