Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima f(x)=x Quadratwurzel von 4-x^2
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.5
Kombiniere und .
Schritt 1.6
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.7
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.8
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.8.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.8.2
Kombiniere und .
Schritt 1.8.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.8.4
Kombiniere und .
Schritt 1.9
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.10
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.11
Addiere und .
Schritt 1.12
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.13
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.14
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.14.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.14.2
Kombiniere und .
Schritt 1.14.3
Kombiniere und .
Schritt 1.15
Potenziere mit .
Schritt 1.16
Potenziere mit .
Schritt 1.17
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.18
Addiere und .
Schritt 1.19
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.20
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.20.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.20.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.20.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.21
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.22
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.24
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.25
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.26
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.26.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.26.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.26.3
Addiere und .
Schritt 1.26.4
Dividiere durch .
Schritt 1.27
Vereinfache .
Schritt 1.28
Subtrahiere von .
Schritt 1.29
Stelle die Terme um.
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.2
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3
Vereinfache.
Schritt 2.4
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.4.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.4.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.4.6
Addiere und .
Schritt 2.5
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.5.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.5.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.6
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.7
Kombiniere und .
Schritt 2.8
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.9
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.10
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.10.2
Kombiniere und .
Schritt 2.10.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.11
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.12
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.13
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.15
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.16
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.16.1
Addiere und .
Schritt 2.16.2
Kombiniere und .
Schritt 2.16.3
Kombiniere und .
Schritt 2.16.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.17
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.17.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.17.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.17.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.18
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.20
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.21
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.21.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.21.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.21.1.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.21.1.3.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.21.1.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.21.1.5
Kombiniere und .
Schritt 2.21.1.6
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.21.1.7
Schreibe in eine faktorisierte Form um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1.7.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.21.1.7.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.21.1.7.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.21.1.7.2
Kombiniere Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1.7.2.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1.7.2.1.1
Bewege .
Schritt 2.21.1.7.2.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.21.1.7.2.1.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.21.1.7.2.1.4
Addiere und .
Schritt 2.21.1.7.2.1.5
Dividiere durch .
Schritt 2.21.1.7.2.2
Vereinfache .
Schritt 2.21.1.8
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.1.8.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.21.1.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.21.1.8.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.21.1.8.4
Subtrahiere von .
Schritt 2.21.1.8.5
Addiere und .
Schritt 2.21.2
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.2.1
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 2.21.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.21.2.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.21.2.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.21.2.3.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.21.2.3.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.21.2.3.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.21.2.3.4
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.1.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.1.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.1.5
Kombiniere und .
Schritt 4.1.6
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.7
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.7.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.8
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.8.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.8.2
Kombiniere und .
Schritt 4.1.8.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 4.1.8.4
Kombiniere und .
Schritt 4.1.9
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.10
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.11
Addiere und .
Schritt 4.1.12
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.13
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.14
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.14.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.14.2
Kombiniere und .
Schritt 4.1.14.3
Kombiniere und .
Schritt 4.1.15
Potenziere mit .
Schritt 4.1.16
Potenziere mit .
Schritt 4.1.17
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.18
Addiere und .
Schritt 4.1.19
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.20
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.20.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.20.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.20.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.21
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.22
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.23
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.24
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.1.25
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.26
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.26.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.26.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.26.3
Addiere und .
Schritt 4.1.26.4
Dividiere durch .
Schritt 4.1.27
Vereinfache .
Schritt 4.1.28
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.29
Stelle die Terme um.
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 5.3
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 5.3.4
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.4.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 5.3.4.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 5.3.4.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 6.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 6.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 6.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 6.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.3.2.2.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.3.2.2.1.2
Vereinfache.
Schritt 6.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.3.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 6.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6.3.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 6.3.3.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.4.1
Schreibe als um.
Schritt 6.3.3.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.3.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 6.3.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 6.3.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 6.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.5
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 6.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 6.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.5.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 6.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6.5.3
Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 6.5.4
Vereinfache die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.1.1
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 6.5.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 6.5.4.2.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 6.5.4.2.1.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 6.5.5
Schreibe als abschnittsweise Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.5.1
Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.
Schritt 6.5.5.2
Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem nicht negativ ist.
Schritt 6.5.5.3
Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.
Schritt 6.5.5.4
Entferne den Absolutwert und multipliziere mit in dem Teil, in dem negativ ist.
Schritt 6.5.5.5
Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.
Schritt 6.5.6
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 6.5.7
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.7.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 6.5.7.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.7.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.5.7.2.2
Dividiere durch .
Schritt 6.5.7.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.7.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6.5.8
Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.
oder
oder
Schritt 6.6
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 9.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 9.1.1.3
Kombiniere und .
Schritt 9.1.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.1.1.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.1.1.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 9.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 9.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 9.2.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 9.2.1.1.3
Kombiniere und .
Schritt 9.2.1.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1.1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2.1.1.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.2.1.1.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 9.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.2
Addiere und .
Schritt 9.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 11.2.2
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 11.2.2.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 11.2.2.3
Kombiniere und .
Schritt 11.2.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.2.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.2.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 11.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.3.4
Schreibe als um.
Schritt 11.2.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 11.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 13.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 13.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 13.2.1.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 13.2.1.2.1
Bewege .
Schritt 13.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 13.2.1.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 13.2.1.2.3
Addiere und .
Schritt 13.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 13.2.1.4
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 13.2.1.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 13.2.1.4.3
Kombiniere und .
Schritt 13.2.1.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 13.2.1.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.1.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.2.1.4.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 13.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2.2
Addiere und .
Schritt 13.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 13.3.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 13.3.2
Potenziere mit .
Schritt 13.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.3.4
Schreibe als um.
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Schritt 13.3.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 13.3.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 13.3.4.3
Kombiniere und .
Schritt 13.3.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 13.3.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.3.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.3.4.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 13.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 13.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 15
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 15.2.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 15.2.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 15.2.2.1
Bewege .
Schritt 15.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 15.2.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 15.2.2.3
Addiere und .
Schritt 15.2.3
Potenziere mit .
Schritt 15.2.4
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 15.2.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 15.2.4.3
Kombiniere und .
Schritt 15.2.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.4.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 15.2.5
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.6
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.6.1
Potenziere mit .
Schritt 15.2.6.2
Potenziere mit .
Schritt 15.2.6.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 15.2.6.4
Addiere und .
Schritt 15.2.7
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.7.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 15.2.7.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 15.2.7.3
Kombiniere und .
Schritt 15.2.7.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.7.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.7.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.7.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 15.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.9
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 17
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 17.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.1
Potenziere mit .
Schritt 17.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 17.2.1
Addiere und .
Schritt 17.2.2
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 17.2.2.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 17.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 17.2.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 17.2.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 17.2.5
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 17.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Undefiniert
Schritt 18
Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.
Keine lokalen Extrema
Schritt 19