Analysis Beispiele

$f (x) = x + \sin (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 + \cos (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 5

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 8

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 9

Die Lösung der Gleichung $x = π$ .

$x = π, π$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (π)$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \sin (0)$

Schritt 11.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 0$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 12

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 12.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Schritt 12.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, π)$ in die erste Ableitung $1 + \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Schritt 12.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (0) = 2$

Schritt 12.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 12.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(π, \infty)$ in die erste Ableitung $1 + \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 12.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Schritt 12.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.3.2.1

Berechne $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Schritt 12.3.2.2

Addiere $1$ und $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Schritt 12.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.96017028$ .

$1.96017028$

Schritt 12.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = π$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 12.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = x + \sin (x)$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 13