Analysis Beispiele

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y - 1$ und $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $y^{2} - y + 1$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Addiere $2 y - 1$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Multipliziere $(- y + 1) (2 y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.1.4

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 1.3.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2 y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3.2

Addiere $y$ und $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Addiere $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.4

Addiere $- y$ und $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} + 2 y$ heraus.

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y \cdot 2$ heraus.

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.7

Schreibe $- (y - 2)$ als $- 1 (y - 2)$ um.

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = - 1$ und $g (y) = \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$g'' (y) = - \frac{d}{d y} \cdot \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.2

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = y - 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \frac{d}{d y} (y - 2) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \cdot 1) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.5.6.1

Mutltipliziere $y - 2$ mit $1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.5.6.2

Addiere $y$ und $y$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 u \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2} - y + 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 (y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $y^{2} - y + 1$ aus ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ heraus.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $y^{2} - y + 1$ aus ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2)$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $y^{2} - y + 1$ aus $- 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.7.2.3

Faktorisiere $y^{2} - y + 1$ aus $(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]))$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $y^{2} - y + 1$ aus ${(y^{2} - y + 1)}^{4}$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{(y^{2} - y + 1) {(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.14

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.15

Addiere $2 y - 1$ und $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

Schritt 2.16

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.17

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.17.1

Mutltipliziere $\frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ mit $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + 0$

Schritt 2.17.2

Addiere $- \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ und $0$ .

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18

Vereinfache.

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Schritt 2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.18.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.1.1

Multipliziere $(y^{2} - y + 1) (2 y - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$g'' (y) = - \frac{y^{2} (2 y) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.1.2.2.1

Bewege $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.18.2.1.2.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{1 + 2} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 \cdot y^{2} - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.1.2.5.1

Bewege $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.8

Mutltipliziere $2 y$ mit $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.3

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $- 2 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.4

Addiere $2 y$ und $2 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.1.5.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.1.5.1.1

Bewege $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.5.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.6

Multipliziere $(- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.18.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y - 1) + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.18.2.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.1.7.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{2} y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.1.7.1.2.1

Bewege $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.18.2.1.7.1.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{1 + 2}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{3}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y \cdot y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.1.7.1.6.1

Bewege $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 (y \cdot y)) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y^{2}) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.1.7.2

Addiere $2 y^{2}$ und $8 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y$ .

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Schritt 2.18.2.2.1

Subtrahiere $4 y$ von $4 y$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.2.2

Addiere $2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}$ und $0$ .

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.3

Subtrahiere $4 y^{3}$ von $2 y^{3}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.4

Addiere $- 4 y^{2}$ und $10 y^{2}$ .

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2$ heraus.

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Schritt 2.18.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6 y^{2}$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2})$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) - (- 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3}) - (- 3 y^{2})$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.9

Schreibe $- (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ als $- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ um.

$g'' (y) = - \frac{2 (- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g'' (y) = 1 (\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}})$

Schritt 2.18.12

Mutltipliziere $\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $y^{2} - y + 1$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.10

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.11

Addiere $2 y - 1$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2

Multipliziere $(- y + 1) (2 y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.1.4

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.3.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2 y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.1.3.2

Addiere $y$ und $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

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Schritt 4.1.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.2.2

Addiere $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ und $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.3

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.4

Addiere $- y$ und $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} + 2 y$ heraus.

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Schritt 4.1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y \cdot 2$ heraus.

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.5

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.7

Schreibe $- (y - 2)$ als $- 1 (y - 2)$ um.

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $g (y)$ nach $y$ ist $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$y (y - 2) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y - 2 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 5.3.3

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (y - 2) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 2$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$y = 0, 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $y = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 ({(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1)}{{({(0)}^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0^{2} + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.4

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Schritt 9.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - (0) + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 0 + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Schritt 9.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 9.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 10

$y = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$y = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $y = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$g (0) = \frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0^{2} - (0) + 1}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 - (0) + 1}$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 0 + 1}$

Schritt 11.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 1}$

Schritt 11.2.2.4

Addiere $0$ und $1$ .

$g (0) = \frac{- 1}{1}$

Schritt 11.2.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (0) = - 1$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $y = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2 ({(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1)}{{({(2)}^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 2^{2} + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{2 (8 - 12 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.4

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$\frac{2 (- 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Schritt 13.1.5

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - (2) + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - 2 + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{3^{3}}$

Schritt 13.2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{27}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{- 6}{27}$

Schritt 13.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $27$ .

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Schritt 13.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 (- 2)}{27}$

Schritt 13.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Schritt 13.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

Schritt 13.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{9}$

Schritt 13.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{9}$

Schritt 14

$y = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$y = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $y = 2$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$g (2) = \frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - (2) + 1}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$g (2) = \frac{1}{2^{2} - (2) + 1}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - (2) + 1}$

Schritt 15.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$g (2) = \frac{1}{4 - 2 + 1}$

Schritt 15.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$g (2) = \frac{1}{2 + 1}$

Schritt 15.2.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$g (2) = \frac{1}{3}$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$ .

$(0, - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(2, \frac{1}{3})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17