Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima sin(x)
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 4
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 5
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 6
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 7
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 8
Vereinfache .
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Schritt 8.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 8.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 8.2.1
Kombiniere und .
Schritt 8.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 8.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 8.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 9
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 10
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 11
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 11.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 11.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 13
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 13.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 13.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 13.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 13.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 15
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 15.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 15.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 15.3
Multipliziere .
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Schritt 15.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 16
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 17
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 17.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 17.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 17.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 17.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 17.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 18
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 19