Analysis Beispiele

Finde die lokalen Maxima und Minima y=x^4-3x^2
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 5
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 6
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 6.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 6.4
Setze gleich .
Schritt 6.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.1
Setze gleich .
Schritt 6.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 6.5.2.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 6.5.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.5.2.4.3
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.5.2.4.3.2
Potenziere mit .
Schritt 6.5.2.4.3.3
Potenziere mit .
Schritt 6.5.2.4.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 6.5.2.4.3.5
Addiere und .
Schritt 6.5.2.4.3.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.4.3.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 6.5.2.4.3.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.5.2.4.3.6.3
Kombiniere und .
Schritt 6.5.2.4.3.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.4.3.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.5.2.4.3.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.5.2.4.3.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 6.5.2.4.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.4.4.1
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 6.5.2.4.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.5.2.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 6.5.2.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 6.5.2.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 6.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 7
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 8
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 10
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 10.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2
Subtrahiere von .
Schritt 11
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 12
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 12.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 12.2.1.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 12.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.2
Addiere und .
Schritt 12.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 14
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 14.1.2
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 14.1.2.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 14.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 14.1.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1.2.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 14.1.2.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14.1.2.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 14.1.3
Potenziere mit .
Schritt 14.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.1.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 14.1.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2
Subtrahiere von .
Schritt 15
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 16
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 16.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 16.2.1.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.2.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.2.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 16.2.1.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 16.2.1.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 16.2.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.2.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.2.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.2.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 16.2.1.2.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 16.2.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 16.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 16.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 16.2.1.5
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 16.2.1.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 16.2.1.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 16.2.1.6.3
Kombiniere und .
Schritt 16.2.1.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.2.1.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 16.2.1.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 16.2.1.7
Potenziere mit .
Schritt 16.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.2.1.8.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 16.2.1.8.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.2.1.8.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 16.2.1.9
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.1.9.1
Kombiniere und .
Schritt 16.2.1.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.2.1.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 16.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 16.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 16.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 16.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 16.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 16.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 16.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 17
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 18
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 18.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 18.1.2
Potenziere mit .
Schritt 18.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.1.4
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 18.1.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 18.1.4.3
Kombiniere und .
Schritt 18.1.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.1.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.1.4.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 18.1.5
Potenziere mit .
Schritt 18.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 18.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.1.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.1.6.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.2
Subtrahiere von .
Schritt 19
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 20
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 20.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 20.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 20.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 20.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.4.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.4.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 20.2.1.4.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 20.2.1.4.1.3
Kombiniere und .
Schritt 20.2.1.4.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.4.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 20.2.1.4.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.4.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 20.2.1.4.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 20.2.1.4.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 20.2.1.4.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 20.2.1.4.2
Potenziere mit .
Schritt 20.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 20.2.1.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 20.2.1.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 20.2.1.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 20.2.1.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 20.2.1.7
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.7.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 20.2.1.7.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 20.2.1.8
Potenziere mit .
Schritt 20.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.2.1.10
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.10.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 20.2.1.10.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 20.2.1.10.3
Kombiniere und .
Schritt 20.2.1.10.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.10.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 20.2.1.10.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 20.2.1.10.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 20.2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 20.2.1.12
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 20.2.1.12.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.12.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 20.2.1.12.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 20.2.1.12.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 20.2.1.13
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.1.13.1
Kombiniere und .
Schritt 20.2.1.13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.2.1.14
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 20.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 20.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 20.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 20.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 20.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 20.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 20.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 21
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Minimum
Schritt 22