Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.4.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2.4.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ heraus.

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 8

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 8.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 8.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 8.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 8.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 8.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 8.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 9.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 9.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 9.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 9.2.6

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.1.4

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 12.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1$

Schritt 12.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - 2$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- 4$

Schritt 13

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 14.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 14.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

Schritt 14.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

Schritt 14.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

Schritt 14.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Schritt 14.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.1.3

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.1.5

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 16.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 16.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16.1.8

Multipliziere $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 16.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 - 2 \cdot - 1$

Schritt 16.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 2 + 2$

Schritt 16.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 17

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 17.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Schritt 17.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 17.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

Schritt 17.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

Schritt 17.2.2.1.2

Berechne $\sin (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

Schritt 17.2.2.1.3

Berechne $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

Schritt 17.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

Schritt 17.2.2.2

Subtrahiere $1.30728724$ von $- 0.98935824$ .

$f' (- 4) = - 2.29664548$

Schritt 17.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.29664548$ .

$- 2.29664548$

Schritt 17.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 17.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Schritt 17.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

Schritt 17.3.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Schritt 17.3.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Schritt 17.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Schritt 17.3.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f' (0) = 2$

Schritt 17.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 17.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 17.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

Schritt 17.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

Schritt 17.4.2.1.2

Berechne $\sin (6)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

Schritt 17.4.2.1.3

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

Schritt 17.4.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.98999249$ .

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

Schritt 17.4.2.2

Subtrahiere $1.97998499$ von $- 0.27941549$ .

$f' (3) = - 2.25940049$

Schritt 17.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.25940049$ .

$- 2.25940049$

Schritt 17.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 17.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

Schritt 17.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

Schritt 17.5.2.1.2

Berechne $\sin (14)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

Schritt 17.5.2.1.3

Berechne $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

Schritt 17.5.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0.75390225$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

Schritt 17.5.2.2

Addiere $0.99060735$ und $1.5078045$ .

$f' (7) = 2.49841186$

Schritt 17.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.49841186$ .

$2.49841186$

Schritt 17.6

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - \frac{π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17.7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{3 π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{3 π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18