Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 2 x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x - 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 2 x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 4 x + 1$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Schritt 5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 5.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (\frac{1}{3}) - 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{1}{3} - 4$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} - 4$

Schritt 9.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 - 4$

Schritt 9.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$- 2$

Schritt 10

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 2}{9} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 11.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Schritt 11.2.3.5

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Schritt 11.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

Schritt 11.2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{27}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{27}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{27}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 9}{27}$

Schritt 11.2.5.3

Addiere $- 5$ und $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{27}$ .

$y = \frac{4}{27}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (1) - 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 - 4$

Schritt 13.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$2$

Schritt 14

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 15.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Schritt 15.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Schritt 15.2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Schritt 15.2.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Schritt 15.2.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (1) = 0$

Schritt 15.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

$(\frac{1}{3}, \frac{4}{27})$ ist ein lokales Maximum

$(1, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17