Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [27 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 18 x + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x - 18$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27 x)$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (27 x)$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 18 x + 27$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 18 x + 27 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 18 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 27 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9$ heraus.

$3 (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3 (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere ${(x - 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (3) - 18$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$18 - 18$

Schritt 9.2

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 3)$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 18 x + 27$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 27$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Schritt 10.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 27$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 27$

Schritt 10.2.2.2.2

Addiere $0$ und $27$ .

$f' (0) = 27$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die erste Ableitung $3 x^{2} - 18 x + 27$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 + 27$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 18 \cdot 6 + 27$

Schritt 10.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$f' (6) = 108 - 18 \cdot 6 + 27$

Schritt 10.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $6$ .

$f' (6) = 108 - 108 + 27$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.3.2.2.1

Subtrahiere $108$ von $108$ .

$f' (6) = 0 + 27$

Schritt 10.3.2.2.2

Addiere $0$ und $27$ .

$f' (6) = 27$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 3$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 11