Analysis Beispiele

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.3.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Stelle die Terme um.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1.6.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1.6.2.4

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1.6.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.6.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.9

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.2.9.1

Multipliziere mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.9.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 5 \ln (x) x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.9.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.10.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Schritt 2.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Schritt 2.3.6

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.6.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Schritt 2.3.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

Schritt 2.3.6.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 2.4.3.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Schritt 2.4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

Schritt 2.4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ heraus.

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Schritt 2.4.5.1.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Schritt 2.4.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Schritt 2.4.5.1.3

Schreibe $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ als $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ um.

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Schritt 2.4.5.2

Addiere $5$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Schritt 2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.1.3.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 4.1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Stelle die Terme um.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.1.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.6.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.1.6.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.1.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.1.6.2.4

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.1.6.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{1}{x^{5}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 5.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- 4 \ln (x) = - 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \ln (x) = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \ln (x) = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 5.5

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.6

Schreibe $\ln (x) = \frac{1}{4}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4}} = x$

Schritt 5.7

Schreibe die Gleichung als $x = e^{\frac{1}{4}}$ um.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{5} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[5]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.3

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = e^{\frac{1}{4}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{1}{4}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

Schritt 9.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Schritt 9.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Schritt 9.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $e^{\frac{1}{4}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ .

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Schritt 11.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Schritt 11.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Schritt 11.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Schritt 11.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Schritt 11.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Schritt 11.2.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{1}{4}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Schritt 11.2.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 11.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

Schritt 11.2.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

Schritt 11.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4 e}$ .

$y = \frac{1}{4 e}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ .

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13