Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Step 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 \cdot 0 - 8$

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 - 8$

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$- 8$

Step 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Step 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Step 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Forme den Ausdruck um.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Berechne den Exponenten.

$12 \cdot 2 - 8$

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$24 - 8$

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Step 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4$

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Step 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Forme den Ausdruck um.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Berechne den Exponenten.

$12 \cdot 2 - 8$

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$24 - 8$

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Step 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{4}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Maximum

$(\sqrt{2}, - 4)$ ist ein lokales Minimum

$(- \sqrt{2}, - 4)$ ist ein lokales Minimum

Step 21