Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.9

Kombiniere $- 36$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.3.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3.11

Faktorisiere $3$ aus $- 36$ heraus.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Schritt 2.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Schritt 2.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Schritt 2.2.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 2.2.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Schritt 2.2.14

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $12$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 2.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 4.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 4.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 4.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.3.9

Kombiniere $- 36$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.3.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.3.11

Faktorisiere $3$ aus $- 36$ heraus.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.1.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ um.

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Schritt 5.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.4.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.5.4.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 5.5.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 2^{3}$

Schritt 5.5.4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x = \pm 8$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 8, - 8, 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Bringe $8^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

Schritt 9.2

Multipliziere ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ mit $8^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

Schritt 9.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 9.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

Schritt 9.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2^{2}}$

Schritt 9.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 10

$x = 8$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 8$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 11.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 11.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Schritt 11.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$f (8) = 24 - 72$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $72$ von $24$ .

$f (8) = - 48$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 48$ .

$y = - 48$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1.1

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 13.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 13.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

Schritt 13.1.4

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{8}{- 32}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $- 32$ .

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Schritt 13.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{8 (1)}{- 32}$

Schritt 13.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Schritt 13.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Schritt 13.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 4}$

Schritt 13.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 14

$x = - 8$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 8$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 8$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 15.2.1.2

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 15.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 15.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 15.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Schritt 15.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Schritt 15.2.1.6

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$f (- 8) = - 24 + 72$

Schritt 15.2.2

Addiere $- 24$ und $72$ .

$f (- 8) = 48$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $48$ .

$y = 48$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 17.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 17.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 17.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 17.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{0^{5}}$

Schritt 17.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{8}{0}$

Schritt 17.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 18

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 18.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 18.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 10$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 8)$ in die erste Ableitung $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 10$ .

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- 8, 0)$ in die erste Ableitung $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.3.2

Die endgültige Lösung ist $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(0, 8)$ in die erste Ableitung $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $10$ , aus dem Intervall $(8, \infty)$ in die erste Ableitung $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 18.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.5.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.5.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18.6

Da die erste Ableitung um $x = - 8$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - 8$ ein lokales Maximum.

$x = - 8$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18.7

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 18.8

Da die erste Ableitung um $x = 8$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 8$ ein lokales Minimum.

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 8$ ist ein lokales Maximum

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

$x = - 8$ ist ein lokales Maximum

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

Schritt 19