Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 10$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{100 + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 10$ .

$\frac{100 - 100}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $100$ von $100$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} x^{2} + 100 \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Schritt 1.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $100$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Schritt 1.1.3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10)}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Schritt 1.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 10$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Schritt 1.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Schritt 1.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.8.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{0}{(100 + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Schritt 1.1.3.8.2

Addiere $100$ und $100$ .

$\frac{0}{200 \cdot (- 10 + 10)}$

Schritt 1.1.3.8.3

Addiere $- 10$ und $10$ .

$\frac{0}{200 \cdot 0}$

Schritt 1.1.3.8.4

Mutltipliziere $200$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 10 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 100$ und $g (x) = x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Schritt 1.3.8

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $x^{2} + 100$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Schritt 1.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100])}$

Schritt 1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [100])}$

Schritt 1.3.13

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + 0)}$

Schritt 1.3.14

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x)}$

Schritt 1.3.15

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 \cdot (x + 10) x}$

Schritt 1.3.16

Vereinfache.

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Schritt 1.3.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (2 x + 2 \cdot 10) x}$

Schritt 1.3.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x \cdot x + 2 \cdot 10 x}$

Schritt 1.3.16.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.16.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 10 x}$

Schritt 1.3.16.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 10 x}$

Schritt 1.3.16.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 10 x}$

Schritt 1.3.16.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 2 \cdot 10 x}$

Schritt 1.3.16.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 20 x}$

Schritt 1.3.16.3.6

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 100 + 20 x}$

Schritt 1.3.16.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 20 x + 100}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 10$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Schritt 2.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 100}$

Schritt 2.9

Berechne den Grenzwert von $100$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 10$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 10$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 10$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$\frac{- 20 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Schritt 4.1.2

Addiere $- 20$ und $10$ .

$\frac{- 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{- 10}{3 \cdot 100 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $100$ .

$\frac{- 10}{300 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 10$ .

$\frac{- 10}{300 - 200 + 100}$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $200$ von $300$ .

$\frac{- 10}{100 + 100}$

Schritt 4.2.5

Addiere $100$ und $100$ .

$\frac{- 10}{200}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $200$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{10 (- 1)}{200}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $200$ heraus.

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{20}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{20}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{20}$

Dezimalform:

$- 0.05$