Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} 2 x^{3} - 12 x^{2} + 5 x + 3$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$lim_{x \to 3} 2 x^{3} - lim_{x \to 3} 12 x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 12 x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 12 x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3$

Schritt 4

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 12 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 3$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$2 {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 12 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$2 \cdot 3^{3} - 12 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$2 \cdot 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 5 lim_{x \to 3} x + 3$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$2 \cdot 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 3$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 3$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$54 - 12 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 3$

Schritt 9.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$54 - 12 \cdot 9 + 5 \cdot 3 + 3$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$54 - 108 + 5 \cdot 3 + 3$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$54 - 108 + 15 + 3$

Schritt 9.2

Subtrahiere $108$ von $54$ .

$- 54 + 15 + 3$

Schritt 9.3

Addiere $- 54$ und $15$ .

$- 39 + 3$

Schritt 9.4

Addiere $- 39$ und $3$ .

$- 36$