Analysis Beispiele

$lim_{x \to 9} \frac{9 - x}{\sqrt{x} - 3}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 9} 9 - x}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 9} 9 - lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{9 - lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - 3}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $9$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 3}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 3}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $9$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 9} \frac{9 - x}{\sqrt{x} - 3} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 3]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 9} - (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 9} - (2 \sqrt{x})$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 9} - 2 \sqrt{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to 9} \sqrt{x}$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 9} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $9$ für $x$ .

$- 2 \sqrt{9}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 2 \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 2 \cdot 3$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6$