Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{5}{x} - \frac{x}{3}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \frac{5}{x} - lim_{x \to 8} \frac{x}{3}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} - lim_{x \to 8} \frac{x}{3}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \frac{x}{3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \frac{x}{3}$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} - \frac{1}{3} lim_{x \to 8} x$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{8}) - \frac{1}{3} lim_{x \to 8} x$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$5 (\frac{1}{8}) - \frac{1}{3} \cdot 8$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} - \frac{1}{3} \cdot 8$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{8} - 8 (\frac{1}{3})$

Schritt 7.1.2.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{8} + \frac{- 8}{3}$

Schritt 7.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{8} - \frac{8}{3}$

Schritt 7.2

Um $\frac{5}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 7.3

Um $- \frac{8}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 7.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $24$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{5 \cdot 3}{24} - \frac{8}{3} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{24} - \frac{8 \cdot 8}{3 \cdot 8}$

Schritt 7.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{5 \cdot 3}{24} - \frac{8 \cdot 8}{24}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cdot 3 - 8 \cdot 8}{24}$

Schritt 7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 - 8 \cdot 8}{24}$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$\frac{15 - 64}{24}$

Schritt 7.6.3

Subtrahiere $64$ von $15$ .

$\frac{- 49}{24}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{49}{24}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{49}{24}$

Dezimalform:

$- 2.041\overline{6}$