Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Schritt 2.2.2

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

Schritt 3.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

Schritt 3.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

Schritt 3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} 1$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$1$