Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ als $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{2}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Schritt 2.8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Schritt 2.9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (e^{8} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Dezimalform:

$7.38967570 \dots$