Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} {(\frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 5 x})}^{7}$

Schritt 1

Ziehe den Exponenten $7$ von ${(\frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 5 x})}^{7}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to - 8} \frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 5 x})}^{7}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to - 8} 1 - x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

${(\frac{lim_{x \to - 8} 1 - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

${(\frac{1 - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 5 x})}^{7}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 5 x})}^{7}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 5 x})}^{7}$

Schritt 8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 8} x})}^{7}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to - 8} x})}^{7}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(- 8)}^{2} + 5 lim_{x \to - 8} x})}^{7}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 8$ mit $4$ .

${(\frac{1 - 1 \cdot 4096}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4096$ .

${(\frac{1 - 4096}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $4096$ von $1$ .

${(\frac{- 4095}{{(- 8)}^{2} + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

${(\frac{- 4095}{64 + 5 \cdot - 8})}^{7}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 8$ .

${(\frac{- 4095}{64 - 40})}^{7}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $40$ von $64$ .

${(\frac{- 4095}{24})}^{7}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4095$ und $24$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 4095$ heraus.

${(\frac{3 (- 1365)}{24})}^{7}$

Schritt 10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

${(\frac{3 \cdot - 1365}{3 \cdot 8})}^{7}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{3 \cdot - 1365}{3 \cdot 8})}^{7}$

Schritt 10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{- 1365}{8})}^{7}$

Schritt 10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(- \frac{1365}{8})}^{7}$

Schritt 10.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1365}{8}$ an.

${(- 1)}^{7} {(\frac{1365}{8})}^{7}$

Schritt 10.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1365}{8}$ an.

${(- 1)}^{7} \frac{1365^{7}}{8^{7}}$

Schritt 10.6

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$- \frac{1365^{7}}{8^{7}}$

Schritt 10.7

Potenziere $1365$ mit $7$ .

$- \frac{8829346479175290000000}{8^{7}}$

Schritt 10.8

Potenziere $8$ mit $7$ .

$- \frac{8829346479175290000000}{2097152}$

Schritt 10.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8829346479175290000000$ und $2097152$ .

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Schritt 10.9.1

Faktorisiere $128$ aus $8829346479175290000000$ heraus.

$- \frac{128 (68979269368556953125)}{2097152}$

Schritt 10.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.9.2.1

Faktorisiere $128$ aus $2097152$ heraus.

$- \frac{128 \cdot 68979269368556953125}{128 \cdot 16384}$

Schritt 10.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{128 \cdot 68979269368556953125}{128 \cdot 16384}$

Schritt 10.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{68979269368556953125}{16384}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{68979269368556953125}{16384}$

Dezimalform:

$- 4.21016048 \cdot 10^{15}$