Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 4.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$