Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ als $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ durch Herausziehen von $\cot (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (x) \ln (1 + x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\cot (x) \ln (1 + x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$1$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (x) \ln (1 + x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\cot (x) \ln (1 + x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$e^{1}$

Schritt 9

Vereinfache.

$e$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e$

Dezimalform:

$2.71828182 \dots$