Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (0)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\tan^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 1.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 1.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 1.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 1.3.7

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}$

Schritt 1.3.8

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 3.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 3.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 3.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (0)}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.6.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1^{2} \cdot \tan (0)}$

Schritt 3.1.3.6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \tan (0)}$

Schritt 3.1.3.6.3

Mutltipliziere $\tan (0)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 3.1.3.6.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sec^{2} (x) \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.5

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{{\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Schritt 3.3.8

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) \sec (x) \tan (x)}$

Schritt 3.3.9

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 3.3.10

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 3.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 3.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Schritt 3.3.13

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec (x)}$

Schritt 3.3.14

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}$

Schritt 3.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.3.17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Schritt 4.10

Ziehe den Exponenten $4$ von $\sec^{4} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{4}}$

Schritt 4.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6.2.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0^{2} + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 + \sec^{4} (0)}$

Schritt 6.2.7

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 + 1^{4}}$

Schritt 6.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Schritt 6.2.9

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$